1 सभी वर्गों का क्षेत्रफल समान है। बहुभुजों के क्षेत्रफलों के गुण समान बहुभुजों के क्षेत्रफल समान होते हैं

क्षेत्रफलों के गुण 10. समान बहुभुजों का क्षेत्रफल समान होता है। डी बी ए सी एन एबीसी = एनएफडी एफ

क्षेत्रफलों के गुण 20. यदि एक बहुभुज कई बहुभुजों से बना है, तो उसका क्षेत्रफल इन बहुभुजों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है। सी बी डी ए एफ

क्षेत्रफलों के गुण 30. एक वर्ग का क्षेत्रफल उसकी भुजा के वर्ग के बराबर होता है। 3 सेमी एस=9 सेमी 2 क्षेत्रफल के गुणों का उपयोग करके, आकृतियों का क्षेत्रफल ज्ञात करें

क्षेत्रफल माप की इकाइयाँ 1 मी 2 = 100 डीएम 2 1 डीएम 2 = 100 सेमी 2

क्षेत्रफल माप की इकाइयाँ 1 किमी 2 1 हेक्टेयर 1 ए 1 मी 2 1 डीएम 2 1 सेमी 2 1 मिमी 2: 100: 100

आयत का क्षेत्रफल b S आइए सिद्ध करें कि S = ab a a भुजा वाला वर्ग a 2 a+b = S + a 2 + b 2 a 2 +2 ab + b 2 = 2 S + a 2 + b 2 S (ए+बी) 2 एस 2 एबी = 2 एस एस = एबी बी 2 बी: 2

कमरे का फर्श, जिसका आकार 5, 5 मीटर और 6 मीटर की भुजाओं वाले एक आयत का है, को आयताकार लकड़ी की छत से ढंका जाना चाहिए। प्रत्येक लकड़ी के तख्ते की लंबाई 30 सेमी है, और चौड़ाई 5 सेमी है। फर्श को ढकने के लिए ऐसे कितने तख्तों की आवश्यकता है? 6 मीटर 5.5 मीटर 5 सेमी 30 सेमी

आयत की भुजाओं पर बने वर्गों का क्षेत्रफल 64 सेमी 2 और 121 सेमी 2 है। आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। 121 सेमी 2 एस-? 64 सेमी 2

प्रत्येक आयत ABCD और ARMK की भुजाएँ 6 सेमी और 10 सेमी के बराबर हैं। इन आयतों में से कम से कम एक से संबंधित सभी बिंदुओं से युक्त आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ए 10 सेमी पी बी 6 सेमी 10 सेमी डी के सी 6 सेमी एम

ABCD एक आयत है, AC एक विकर्ण है। त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ए ए डी एबीसी = एडीसी बी एसएबीसी = बी सी

ABCD एक आयत है. खोजें: एसएबीएफ। बी सीई = डीई, सी एफ ई ए डी एसएबीसीडी = क्यू

एबी = बीसी = 3, एएफ = 5, खोजें: एसएबीसीडीईएफ। बी ईएफ = 2. सी 3 डी ई 3 ए 2 5 एफ

S=102 C बिंदु K, M, T और E वर्ग E ABCD की भुजाओं AD, AB, BC और DC पर क्रमशः 5 इस प्रकार स्थित हैं कि KD=7, AK=3, AM=5, BT=8, CE=5 . चतुर्भुज KMTE का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। डी टी बी 2 8 एम 5 7 के 3 ए

पंचभुज ABCD का क्षेत्रफल 48 सेमी 2 है। वर्ग ABCD का क्षेत्रफल और परिमाप ज्ञात कीजिए। सी बी ओ ए 1) 48: 3 * 4 = 64 (सेमी 2) एसАВСD 2) एबी = 8 (सेमी), पीАВСD = 8 * 4 = 32 (सेमी) डी

एबीसीडी और एमडीकेपी बराबर वर्ग हैं। AB = 8 सेमी। चतुर्भुज ASKM का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। बी सी 64 सेमी 2 8 सेमी 32 सेमी 2 डी ए 32 सेमी 2 एम के 32 सेमी 2 आर

ABCD और DСМK वर्ग हैं। एबी = 6 सेमी. चतुर्भुज ओएसपीडी का क्षेत्रफल ज्ञात करें। सी एच 6 सेमी ए ओ एम आर डी के

एबीसीडी - आयत; M, K, P, T इसकी भुजाओं के मध्यबिंदु हैं, AB = 6 सेमी, AD = 12 सेमी। चतुर्भुज MKRT का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। एच के 6 सेमी एम ए सी आर टी 12 सेमी डी

एबीसीडी - आयत; M, K, P, T इसकी भुजाओं के मध्यबिंदु हैं, AB = 16 सेमी, BC = 10 सेमी। षट्भुज AMKSRT का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। सी पी 10 सेमी के बी डी टी एम 16 सेमी ए

नौकरी का स्रोत: निर्णय 2746.-13. OGE 2017 गणित, I.V. यशचेंको। 36 विकल्प.

कार्य 11.एक समचतुर्भुज की भुजा 12 है, और समचतुर्भुज के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से इसकी दूरी 1 है। इस समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान।

एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना उसी तरह की जा सकती है जैसे एक समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल की, अर्थात, समचतुर्भुज की ऊँचाई h और उस भुजा की लंबाई का गुणनफल जिस पर इसे खींचा जाता है:

चित्र में, लाल रेखा काली रेखा के साथ मिलकर समचतुर्भुज की ऊंचाई h दर्शाती है, जो बराबर है (क्योंकि काली और लाल रेखाओं की लंबाई बराबर है)। समस्या की स्थिति के अनुसार भुजा की लंबाई a=12 भी है। हमें समचतुर्भुज का क्षेत्रफल प्राप्त होता है:

उत्तर: 24.

कार्य 12.चेकर्ड पेपर पर 1x1 के वर्ग आकार के साथ एक रोम्बस को दर्शाया गया है। इसके लंबे विकर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए।

समाधान।

चित्र में, नीली रेखाएँ समचतुर्भुज के विकर्णों को दर्शाती हैं। यह देखा जा सकता है कि बड़ा विकर्ण 12 कोष्ठक है।

उत्तर: 12.

कार्य 13.निम्नलिखित बयानों में से कौन सा सही हैं?

1) एक आयत है जिसके विकर्ण परस्पर लंबवत हैं।

2) सभी वर्गों का क्षेत्रफल समान है।

3) त्रिभुज का एक कोण हमेशा 60 डिग्री से अधिक नहीं होता है।

उत्तर में, रिक्त स्थान, अल्पविराम या अन्य अतिरिक्त वर्णों के बिना चयनित कथनों की संख्याएँ लिखें।

समाधान।

1) सही. यह एक आयत है जो एक वर्ग में बदल जाती है।

आठवीं वर्ग: विषय 3. आकृतियों का क्षेत्रफल। पाइथागोरस प्रमेय।

1. क्षेत्रफल की अवधारणा. समान आकार के आंकड़े.

यदि लंबाई एक रेखा की एक संख्यात्मक विशेषता है, तो क्षेत्रफल एक बंद आकृति की एक संख्यात्मक विशेषता है। इस तथ्य के बावजूद कि हम रोजमर्रा की जिंदगी से क्षेत्र की अवधारणा से अच्छी तरह परिचित हैं, इस अवधारणा को एक सख्त परिभाषा देना आसान नहीं है। इससे पता चलता है कि किसी बंद आकृति के क्षेत्रफल को निम्नलिखित वाली कोई भी गैर-ऋणात्मक मात्रा कहा जा सकता है आकृतियों के क्षेत्रफल मापने के गुण:

समान आकृतियों का क्षेत्रफल समान होता है। यदि किसी दी गई बंद आकृति को कई बंद आकृतियों में विभाजित किया जाता है, तो आकृति का क्षेत्रफल उसके घटक आकृतियों के क्षेत्रों के योग के बराबर होता है (चित्र 1 में आकृति को विभाजित किया गया है) एनआंकड़े; इस मामले में, आकृति का क्षेत्रफल, कहाँ सी- वर्ग मैं-वाँ आंकड़ा)।

सिद्धांत रूप में, मात्राओं के एक सेट के साथ आना संभव होगा जिसमें तैयार गुण हों, और इसलिए आकृति के क्षेत्र की विशेषता बताएं। लेकिन सबसे परिचित और सुविधाजनक मान वह है जो किसी वर्ग के क्षेत्रफल को उसकी भुजा के वर्ग के रूप में दर्शाता है। आइए इस "समझौते" को आंकड़ों के क्षेत्रों को मापने की तीसरी संपत्ति कहें:

एक वर्ग का क्षेत्रफल उसकी भुजा के वर्ग के बराबर होता है (चित्र 2)।

इस परिभाषा के साथ, आकृतियों का क्षेत्रफल वर्ग इकाइयों में मापा जाता है ( सेमी 2, किमी 2, हा=100एम 2).

आंकड़ों समान क्षेत्रफल वाले कहलाते हैं आकार में बराबर .

टिप्पणी: समान आकृतियों का क्षेत्रफल समान होता है, अर्थात समान आकृतियों का आकार समान होता है। लेकिन समान आकार की आकृतियाँ हमेशा समान नहीं होती हैं (उदाहरण के लिए, चित्र 3 एक वर्ग और एक समद्विबाहु त्रिभुज को दर्शाता है जो समान समकोण त्रिभुजों से बना है (वैसे, जैसे) आंकड़ों बुलाया समान रूप से रचित ); यह स्पष्ट है कि वर्ग और त्रिभुज आकार में बराबर हैं, लेकिन बराबर नहीं हैं, क्योंकि वे ओवरलैप नहीं होते हैं)।

इसके बाद, हम आकृतियों के क्षेत्रफल मापने के तैयार गुणों के आधार पर सभी मुख्य प्रकार के बहुभुजों (आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने के प्रसिद्ध सूत्र सहित) के क्षेत्रफलों की गणना के लिए सूत्र प्राप्त करेंगे।

2. एक आयत का क्षेत्रफल. समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल.

एक आयत के क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र: एक आयत का क्षेत्रफल उसकी दो आसन्न भुजाओं के गुणनफल के बराबर होता है (चित्र 4)।

दिया गया:

ए बी सी डी- आयत;

विज्ञापन=ए, अब=बी.

सिद्ध करना: एसएबीसीडी=ए× बी.

सबूत:

1. बाजू बढ़ाएँ अबएक खंड के लिए बी.पी.=ए, और पक्ष विज्ञापन- एक खंड के लिए डी.वी.=बी. आइए एक समांतर चतुर्भुज बनाएं एपीआरवी(चित्र 4)। चूँकि Ð ए=90°, एपीआरवी- आयत। जिसमें एपी=ए+बी=ए वी, Þ एपीआरवी– भुजा वाला एक वर्ग ( ए+बी).

2. आइए निरूपित करें ईसा पूर्वÇ आर.वी=टी, सीडीÇ जनसंपर्क=क्यू. तब बीसीक्यूपी- एक भुजा वाला वर्ग ए, सीडीवीटी- एक भुजा वाला वर्ग बी, सीक्यूआरटी- भुजाओं वाला आयत एऔर बी.

समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र: एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसकी ऊंचाई और उसके आधार के गुणनफल के बराबर होता है (चित्र 5)।

टिप्पणी: समांतर चतुर्भुज के आधार को आमतौर पर वह पक्ष कहा जाता है जिस पर ऊंचाई खींची जाती है; यह स्पष्ट है कि समांतर चतुर्भुज की कोई भी भुजा आधार के रूप में कार्य कर सकती है।

दिया गया:

ए बी सी डी– पी/जी;

बी.एच.^विज्ञापन, एचÎ विज्ञापन.

सिद्ध करना: एसएबीसीडी=विज्ञापन× बी.एच..

सबूत:

1. आइए इसे आधार पर ले जाएं विज्ञापनऊंचाई सीएफ़(चित्र 5)।

2. ईसा पूर्वïê एचएफ, बी.एच.ïê सीएफ़, Þ बीसीएफएच- परिभाषा के अनुसार पी/जी। डी एच=90°, Þ बीसीएफएच- आयत।

3. बीसीएफएच- पी/जी, Þ पी/जी संपत्ति के अनुसार बी.एच.=सीएफ़, Þ डी बाह=डी सीडीएफकर्ण और पैर के साथ ( अब=सीडीसेंट पी/जी के अनुसार, बी.एच.=सीएफ़).

4. एसएबीसीडी=एसएबीसीएफ+एसडी सीडीएफ=एसएबीसीएफ+एसडी बाह=एसबीसीएफएच=बी.एच.× ईसा पूर्व=बी.एच.× विज्ञापन. #

3. एक त्रिभुज का क्षेत्रफल.

त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र: एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी ऊंचाई और उसके आधार के आधे गुणनफल के बराबर होता है (चित्र 6)।

टिप्पणी: इस मामले में, त्रिभुज का आधार वह भुजा है जिस पर ऊँचाई खींची गई है। त्रिभुज की तीन भुजाओं में से कोई भी इसके आधार के रूप में कार्य कर सकती है।

दिया गया:

बी.डी^एसी।, डीÎ एसी।.

सिद्ध करना: .

सबूत:

1. चलिए D पूरा करते हैं एबीसीपी/वाई तक एबीकेसीशीर्ष से गुजरते हुए बीसीधा बी.के.ïê एसी।, और शीर्ष के माध्यम से सी- सीधा सी.के.ïê अब(चित्र 6)।

2. डी एबीसी=डी के.सी.बीतीन तरफ ( ईसा पूर्व- सामान्य, अब=केसीऔर एसी।=के.बी.सेंट पी/जी के अनुसार), Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image014_34.gif' width='107' ऊंचाई='36'>).

परिणाम 2: यदि हम पी/यू डी पर विचार करें एबीसीऊंचाई के साथ ए.एच., कर्ण की ओर खींचा गया ईसा पूर्व, वह । इस प्रकार, पी/यू में कर्ण तक खींची गई डी-की ऊंचाई उसके पैरों और कर्ण के गुणनफल के अनुपात के बराबर है . समस्याओं को हल करते समय इस संबंध का अक्सर उपयोग किया जाता है।

4. त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र से उपफल: समान ऊंचाई या आधार वाले त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात; आकृतियों में समान त्रिभुज; उत्तल चतुर्भुज के विकर्णों द्वारा निर्मित त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का गुण।

त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के सूत्र से, प्राथमिक रूप से दो परिणाम निकलते हैं:

1. समान ऊँचाई वाले त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनके आधारों के अनुपात के बराबर (चित्र 8 में)। ).

2. समान आधार वाले त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी ऊंचाई के अनुपात के बराबर (चित्र 9 में)। ).

टिप्पणी: समस्याओं को हल करते समय, समान ऊँचाई वाले त्रिभुज अक्सर सामने आते हैं। इस मामले में, एक नियम के रूप में, उनके आधार एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं, और आधारों के विपरीत शीर्ष उभयनिष्ठ होता है (उदाहरण के लिए, चित्र 10 में) एस 1:एस 2:एस 3=ए:बी:सी). आपको ऐसे त्रिभुजों की कुल ऊँचाई देखना सीखना चाहिए।

साथ ही, त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र उपयोगी तथ्य उत्पन्न करता है जो आपको खोजने की अनुमति देते हैं आकृतियों में समान त्रिभुज:

1. एक मनमाने त्रिभुज की माध्यिका उसे दो समान त्रिभुजों में विभाजित करती है (चित्र 11 में डी ए.बी.एम.और डी एसीएमऊंचाई ए.एच.- सामान्य, और आधार बी.एम.और सेमी।माध्यिका की परिभाषा के अनुसार बराबर; यह इस प्रकार है कि डी ए.बी.एम.और डी एसीएमआकार में बराबर)।

2. एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण इसे चार समान त्रिभुजों में विभाजित करते हैं (चित्र 12 में ए.ओ.– त्रिभुज की माध्यिका अब्दविकर्णों के गुण p/g द्वारा, Þ त्रिभुजों के पिछले गुणों के कारण एबीओऔर एडीओआकार में बराबर; क्योंकि बी.ओ.– त्रिभुज की माध्यिका एबीसी, त्रिभुज एबीओऔर बी.सी.ओआकार में बराबर; क्योंकि सीओ– त्रिभुज की माध्यिका बीसीडी, त्रिभुज बी.सी.ओऔर डीसीओआकार में बराबर; इस प्रकार, एसडी एडीओ=एसडी एबीओ=एसडी बी.सी.ओ=एसडी डीसीओ).

3. एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण इसे चार त्रिभुजों में विभाजित करते हैं; उनमें से दो, पार्श्व भुजाओं से सटे हुए, आकार में समान हैं (चित्र 13)।

दिया गया:

ए बी सी डी- ट्रेपेज़ॉइड;

ईसा पूर्वïê विज्ञापन; एसी।Ç बी.डी=हे.

सिद्ध करना: एसडी एबीओ=एसडी डीसीओ.

सबूत:

1. आइए ऊंचाइयां बनाएं बी.एफ.और चौधरी(चित्र 13)। फिर डी अब्दऔर डी एसीडीआधार विज्ञापन- सामान्य, और ऊंचाई बी.एफ.और चौधरीबराबर; वां एसडी अब्द=एसडी एसीडी.

2. एसडी एबीओ=एसडी अब्द ‑ एसडी एओडी=एसडी एसीडी ‑ एसडी एओडी=एसडी डीसीओ. #

यदि आप उत्तल चतुर्भुज (चित्रा 14) के विकर्ण खींचते हैं, तो चार त्रिकोण बनते हैं, जिनके क्षेत्र बहुत आसानी से याद रखने योग्य अनुपात से संबंधित होते हैं। इस संबंध की व्युत्पत्ति पूरी तरह से त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के सूत्र पर निर्भर करती है; हालाँकि, यह साहित्य में बहुत कम पाया जाता है। समस्याओं को हल करने में उपयोगी होने के कारण, जो संबंध नीचे तैयार और सिद्ध किया जाएगा वह करीब से ध्यान देने योग्य है:

उत्तल चतुर्भुज के विकर्णों द्वारा निर्मित त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का गुण: यदि उत्तल चतुर्भुज के विकर्ण ए बी सी डीएक बिंदु पर प्रतिच्छेद करना हे, फिर (चित्र 14)।

ए बी सी डी– उत्तल चतुर्भुज;

https://pandia.ru/text/78/214/images/image025_28.gif' width='149' ऊंचाई='20'>.

सबूत:

1. बी.एफ.- कुल ऊंचाई डी एओबीऔर डी बीओसी; Þ एसडी एओबी:एसडी बीओसी=ए.ओ.:सीओ.

2. डी.एच.- कुल ऊंचाई डी एओडीऔर डी सी.ओ.डी.; Þ एसडी एओडी:एसडी सी.ओ.डी.=ए.ओ.:सीओ.

5. समान कोण वाले त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात।

समान कोण वाले त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के अनुपात पर प्रमेय: समान कोण वाले त्रिभुजों के क्षेत्रफल इन कोणों को घेरने वाली भुजाओं के गुणनफल के रूप में संबंधित होते हैं (चित्र 15)।

दिया गया:

डी एबीसी, डी ए 1बी 1सी 1;

Ð बीएसी=Ð बी 1ए 1सी 1.

सिद्ध करना:

सबूत:

1. इसे किरण पर लिटा दें अबरेखा खंड अब 2=ए 1बी 1, और बीम पर एसी।- रेखा खंड एसी। 2=ए 1सी 1 (चित्र 15)। फिर डी अब 2सी 2=डी ए 1बी 1सीदो पक्षों पर 1 और उनके बीच का कोण ( अब 2=ए 1बी 1 और एसी। 2=ए 1सी 1 निर्माण द्वारा, और Р बी 2एसी। 2=आर बी 1ए 1सी 1 शर्त के अनुसार). मतलब, ।

2. बिंदुओं को कनेक्ट करें सीऔर बी 2.

3. चौधरी- कुल ऊंचाई डी अब 2सीऔर डी एबीसी, Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image033_22.gif' width='81' ऊंचाई='43 src='>.

6. त्रिभुज के समद्विभाजक का गुण.

समान कोण वाले त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के अनुपात और समान ऊंचाई वाले त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के अनुपात पर प्रमेयों का उपयोग करके, हम बस एक तथ्य साबित करते हैं जो समस्याओं को हल करने में बेहद उपयोगी है और सीधे तौर पर आकृतियों के क्षेत्रफलों से संबंधित नहीं है। :

त्रिभुज द्विभाजक गुण:किसी त्रिभुज का समद्विभाजक उस भुजा को विभाजित करता है जिस ओर वह खींचा जाता है, उन्हें आसन्न भुजाओं के आनुपातिक खंडों में विभाजित करता है।

दिया गया:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image036_22.gif' width='61' ऊंचाई='37'>.

सबूत:

1..gif" width=”72 ऊंचाई=40” ऊंचाई=”40”>.

3. बिंदु 1 और 2 से हमें मिलता है: , Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image041_19.gif' width='61' ऊंचाई='37'>. #

टिप्पणी:चूँकि चरम सदस्यों या मध्य सदस्यों की अदला-बदली सही अनुपात में की जा सकती है, इसलिए त्रिभुज के समद्विभाजक के गुण को निम्नलिखित रूप में याद रखना अधिक सुविधाजनक है (चित्र 16): .

7. समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल.

समलंब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र: एक समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसकी ऊंचाई के गुणनफल और उसके आधारों के योग के आधे के बराबर होता है।

दिया गया:

ए बी सी डी- ट्रेपेज़ॉइड;

ईसा पूर्वïê विज्ञापन;

बी.एच.- ऊंचाई।

https://pandia.ru/text/78/214/images/image044_21.gif" width="127" ऊंचाई="36">.

सबूत:

1. आइए एक विकर्ण बनाएं बी.डीऔर ऊंचाई डीएफ(चित्र 17)। बीएचडीएफ– आयत, Þ बी.एच. = डीएफ.

परिणाम: समान ऊँचाई वाले समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी मध्य रेखाओं के अनुपात (या आधारों के योग का अनुपात) के बराबर होता है।

8. परस्पर लंबवत विकर्णों वाले चतुर्भुज का क्षेत्रफल।

परस्पर लंबवत विकर्णों वाले चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र: परस्पर लंबवत विकर्णों वाले चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों के आधे गुणनफल के बराबर होता है।

ए बी सी डी– चतुर्भुज;

एसी।^बी.डी.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image049_20.gif' width='104' ऊंचाई='36'>.

सबूत:

1. आइए निरूपित करें एसी।Ç बी.डी=हे. क्योंकि एसी।^बी.डी, ए.ओ.- ऊंचाई डी अब्द, ए सीओ- ऊंचाई डी सीबीडी(उत्तल और गैर-उत्तल चतुर्भुजों के मामलों के लिए क्रमशः चित्र 18ए और 18बी)।

2.
(चिह्न "+" या "-" क्रमशः उत्तल और गैर-उत्तल चतुर्भुज के मामलों के अनुरूप हैं)। #

पाइथागोरस प्रमेय विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करने में अत्यंत महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है; यह आपको एक समकोण त्रिभुज की दो ज्ञात भुजाओं से उसकी अज्ञात भुजा ज्ञात करने की अनुमति देता है। पाइथागोरस प्रमेय के कई ज्ञात प्रमाण हैं। आइए एक वर्ग और एक त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के सूत्रों के आधार पर उनमें से सबसे सरल प्रस्तुत करें:

पाइथागोरस प्रमेय: एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

दिया गया:

डी एबीसी– पी/यू;

Ð ए=90°.

सिद्ध करना:

ईसा पूर्व 2=अब 2+एसी। 2.

सबूत:

1. आइए निरूपित करें एसी।=ए, अब=बी. आइए इसे किरण पर रखें अबरेखा खंड बी.पी.=ए, और बीम पर एसी।- रेखा खंड सीवी=बी(चित्र 19)। आइए बिंदु के माध्यम से जानें पीप्रत्यक्ष जनसंपर्कïê ए वी, और बिंदु के माध्यम से वी- सीधा वी.आरïê एपी. तब एपीआरवी- परिभाषा के अनुसार पी/जी। इसके अलावा, चूंकि ए=90°, एपीआरवी- आयत। और क्योंकि ए वी=ए+बी=एपी, एपीआरवी- एक भुजा वाला वर्ग ए+बी, और SAPRV=(ए+बी)2. आगे हम पक्ष विभाजित करेंगे जनसंपर्कडॉट क्यूखंडों में पी क्यू=बीऔर QR=ए, और पक्ष आर.वी-बिंदु टीखंडों में आर टी=बीऔर टीवी=ए.

2.डी एबीसी=डी पीक्यूबी=डी आरटीक्यू=डी वीसीटीदो तरफ, Þ Ð एसीबी=Ð पीबीक्यू=Ð आरक्यूटी=Ð वीटीसी, ईसा पूर्व=क्यूबी=टी.क्यू.=सी.टी., और https://pandia.ru/text/78/214/images/image055_17.gif" width="115" ऊंचाई="36">.

3. क्योंकि ईसा पूर्व=क्यूबी=टी.क्यू.=सी.टी., सीबीक्यूटी- रोम्बस एक ही समय पर क्यूबीसी=180°-(आर एबीसी+Ð पीबीक्यू)=180°-(Р एबीसी+Ð एसीबी)=Ð बीएसी=90°; वां सीबीक्यूटी- वर्ग, और एससीबीक्यूटी=ईसा पूर्व 2.

4. . इसलिए, ईसा पूर्व 2=अब 2+एसी। 2. #

व्युत्क्रम पाइथागोरस प्रमेय एक समकोण त्रिभुज का संकेत है, यानी, यह आपको तीन ज्ञात भुजाओं का उपयोग करके यह जांचने की अनुमति देता है कि त्रिभुज समकोण है या नहीं।

व्युत्क्रम पाइथागोरस प्रमेय: यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग उसकी अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर है, तो त्रिभुज समकोण है और इसकी सबसे लंबी भुजा कर्ण है।

दिया गया:

ईसा पूर्व 2=अब 2+एसी। 2.

सिद्ध करना:डी एबीसी– पी/यू;

Ð ए=90°.

सबूत:

1. एक समकोण बनाइये ए 1 और खंडों को इसके किनारों पर रखें ए 1बी 1=अबऔर ए 1सी 1=एसी।(चित्र 20)। परिणामी पी/यू में डी ए 1बी 1सी 1 पाइथागोरस प्रमेय द्वारा बी 1सी 12=ए 1बी 12+ए 1सी 12=अब 2+एसी। 2; लेकिन शर्त के अनुसार अब 2+एसी। 2=ईसा पूर्व 2; वां बी 1सी 12=ईसा पूर्व 2, Þ बी 1सी 1=ईसा पूर्व.

2.डी एबीसी=डी ए 1बी 1सी 1 तीन तरफ ( ए 1बी 1=अबऔर ए 1सी 1=एसी।निर्माण द्वारा, बी 1सी 1=ईसा पूर्वमद 1 से), Þ Ð ए=Ð ए 1=90°, Þ डी एबीसी- पी/यू. #

समकोण त्रिभुज जिनकी भुजाओं की लंबाई प्राकृतिक संख्याओं में व्यक्त की जाती है, कहलाते हैं पायथागॉरियन त्रिकोण , और संगत प्राकृत संख्याओं के त्रिक हैं पायथागॉरियन त्रिक . पायथागॉरियन त्रिक को याद रखना उपयोगी है (इनमें से बड़ी संख्या अन्य दो के वर्गों के योग के बराबर है)। यहाँ कुछ पायथागॉरियन त्रिक हैं:

3, 4, 5;

5, 12, 13;

8, 15, 17;

7, 24, 25;

20, 21, 29;

12, 35, 37;

9, 40, 41.

3, 4, 5 भुजाओं वाले एक समकोण त्रिभुज का उपयोग मिस्र में समकोण बनाने के लिए किया जाता था, और इसलिए ऐसा त्रिकोण बुलाया मिस्र के .

10. बगुला का सूत्र.

हेरोन का सूत्र आपको इसकी तीन ज्ञात भुजाओं से एक मनमाना त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने की अनुमति देता है और कई समस्याओं को हल करने में अपरिहार्य है।

बगुला का सूत्र: भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ए, बीऔर सीनिम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है: त्रिभुज का अर्ध-परिधि कहाँ है।