1 kõigil ruutudel on võrdsed pindalad. Hulknurkade pindalade omadused Võrdsetel hulknurkadel on võrdsed pindalad

Pindalade omadused 10. Võrdsetel hulknurkadel on võrdsed pindalad. D B A C N ABC = NFD F

Pindalade omadused 20. Kui hulknurk koosneb mitmest hulknurgast, siis on selle pindala võrdne nende hulknurkade pindalade summaga. C B D A F

Pindalade omadused 30. Ruudu pindala on võrdne selle külje ruuduga. 3 cm S=9 cm 2 Kasutades pindalade omadusi, leia kujundite pindalad

Pindala mõõtühikud 1 m 2 = 100 dm 2 1 dm 2 = 100 cm 2

Pindala mõõtühikud 1 km 2 1 ha 1 a 1 m 2 1 dm 2 1 cm 2 1 mm 2: 100: 100

Ristküliku pindala b S Tõestame, et S = ab a a RUUT KÜLJEGA a 2 a+b = S + a 2 + b 2 a 2 +2 ab + b 2 = 2 S + a 2 + b 2 S (a+b) 2 S 2 ab = 2 S S = ab b 2 b: 2

Ruumi põrand, mis on ristküliku kujuline külgedega 5, 5 m ja 6 m, tuleb katta ristkülikukujulise parkettiga. Iga parketilaua pikkus on 30 cm ja laius 5 cm Kui palju selliseid laudu on vaja põranda katmiseks? 6 m 5,5 m 5 cm 30 cm

Ristküliku külgedele ehitatud ruutude pindala on 64 cm 2 ja 121 cm 2. Leidke ristküliku pindala. 121 cm 2 S-? 64 cm 2

Iga ristküliku ABCD ja ARMK küljed on võrdsed 6 cm ja 10 cm. Leidke joonise pindala, mis koosneb kõigist punktidest, mis kuuluvad vähemalt ühte neist ristkülikutest. A 10 cm P B 6 cm 10 cm S K K 6 cm M

ABCD on ristkülik, AC on diagonaal. Leidke kolmnurga ABC pindala. A a D АBC = ADC b SABC = B C

ABCD on ristkülik. Leia: SABF. B CE = DE, C F E A D SABCD = Q

AB = BC = 3, AF = 5, Leia: SABCDEF. B EF = 2. C 3 D E 3 A 2 5 F

S=102 C Punktid K, M, T ja E asuvad vastavalt 5 ruudu E ABCD külgedel AD, AB, BC ja DC nii, et KD=7, AK=3, AM=5, BT=8, CE=5 . Leidke nelinurga KMTE pindala. D T B 2 8 M 5 7 K 3 A

Viisnurga ABCD pindala on 48 cm 2. Leidke ruudu ABCD pindala ja ümbermõõt. C B O A 1) 48: 3 * 4 = 64 (cm 2) SАВСD 2) AB = 8 (cm), PАВСD = 8 * 4 = 32 (cm) D

ABCD ja MDKP on võrdsed ruudud. AB = 8 cm Leidke nelinurga ASCM pindala. B K 64 cm 2 8 cm 32 cm 2 D A 32 cm 2 M K 32 cm 2 R

ABCD ja DСМK on ruudud. AB = 6 cm Leidke nelinurga OSPD pindala. CH 6 cm A O M R D K

ABCD – ristkülik; M, K, P, T on selle külgede keskpunktid, AB = 6 cm, AD = 12 cm. Leidke nelinurga MKRT pindala. K K 6 cm K A K R T 12 cm S

ABCD – ristkülik; M, K, P, T on selle külgede keskpunktid, AB = 16 cm, BC = 10 cm. Leidke kuusnurga AMKSRT pindala. K P 10 cm K B D T M 16 cm A

Töö allikas: Otsus 2746.-13. OGE 2017 matemaatika, I.V. Jaštšenko. 36 võimalust.

Ülesanne 11. Rombi külg on 12 ja kaugus rombi diagonaalide lõikepunktist selleni on 1. Leidke selle rombi pindala.

Lahendus.

Rombi pindala saab arvutada samamoodi nagu rööpküliku pindala, st rombi kõrguse h korrutisena selle külje pikkusega a, millele see on tõmmatud:

Joonisel näitab punane joon koos musta joonega rombi kõrgust h, mis on võrdne (kuna musta ja punase joone pikkused on võrdsed). Külje pikkus on a=12 ka vastavalt ülesande tingimustele. Saame rombi pindala:

Vastus: 24.

12. ülesanne. Romb on kujutatud ruudulisel paberil, mille ruudu suurus on 1x1. Leidke selle pikema diagonaali pikkus.

Lahendus.

Joonisel näitavad sinised jooned rombi diagonaale. On näha, et suur diagonaal on 12 lahtrit.

Vastus: 12.

Ülesanne 13. Millised järgmistest väidetest on tõesed?

1) On ristkülik, mille diagonaalid on üksteisega risti.

2) Kõik ruudud on võrdsete pindaladega.

3) Kolmnurga üks nurkadest ei ületa alati 60 kraadi.

Vastuseks kirjutage valitud väidete numbrid üles ilma tühikute, komade ja muude lisamärkideta.

Lahendus.

1) Õige. See on ristkülik, mis muutub ruuduks.

VIII klass: Teema 3. Figuuride alad. Pythagorase teoreem.

1. Pindala mõiste. Võrdse suurusega figuurid.

Kui pikkus on joone arvuline karakteristik, siis pindala on suletud kujundi arvtunnus. Hoolimata asjaolust, et pindala mõiste on meile igapäevaelust hästi tuttav, ei ole sellele mõistele lihtne ranget definitsiooni anda. Selgub, et suletud figuuri pindala võib nimetada mis tahes mittenegatiivseks suuruseks, millel on järgmised omadused jooniste pindalade mõõtmise omadused:

Võrdsetel arvudel on võrdsed pindalad. Kui antud suletud kujund on jagatud mitmeks suletud kujundiks, siis on joonise pindala võrdne selle moodustavate kujundite pindalade summaga (joonisel 1 olev joonis jagatakse n figuurid; sel juhul joonise pindala, kus Si- ruut i-. joonis).

Põhimõtteliselt oleks võimalik välja mõelda kogum, millel on formuleeritud omadused ja mis seetõttu iseloomustavad joonise pindala. Kuid kõige tuttavam ja mugavam väärtus on see, mis iseloomustab ruudu pindala selle külje ruuduna. Nimetagem seda "kokkulepet" jooniste pindalade mõõtmise kolmandaks omaduseks:

Ruudu pindala on võrdne selle külje ruuduga (joonis 2).

Selle määratluse korral mõõdetakse kujundite pindala ruutühikutes ( cm 2, km 2, ha=100m 2).

Arvud millel on võrdsed pindalad, nimetatakse suuruselt võrdsed .

Kommentaar: Võrdsetel kujunditel on võrdsed pindalad, see tähendab, et võrdsed arvud on võrdse suurusega. Kuid võrdse suurusega kujundid ei ole alati võrdsed (näiteks joonisel 3 on näidatud ruut ja võrdhaarne kolmnurk, mis koosnevad võrdsetest täisnurksetest kolmnurkadest (muide, arvud helistas võrdselt koostatud ); on selge, et ruut ja kolmnurk on võrdse suurusega, kuid mitte võrdsed, kuna need ei kattu).

Järgmisena tuletame valemid kõigi põhitüüpide hulknurkade pindalade arvutamiseks (sh üldtuntud valem ristküliku pindala leidmiseks), mis põhinevad jooniste pindalade mõõtmise formuleeritud omadustel.

2. Ristküliku pindala. Rööpküliku pindala.

Valem ristküliku pindala arvutamiseks: Ristküliku pindala on võrdne selle kahe külgneva külje korrutisega (joonis 4).

Arvestades:

ABCD- ristkülik;

AD=a, AB=b.

Tõesta: SABCD=a× b.

Tõestus:

1. Laiendage külge AB segmendi jaoks B.P.=a, ja külg AD- segmendi jaoks D.V.=b. Ehitame rööpküliku APRV(Joonis 4). Alates Ð A=90°, APRV- ristkülik. Kus AP=a+b=AV, Þ APRV– ruut küljega ( a+b).

2. Tähistame B.C.Ç RV=T, CDÇ PR=K. Siis BCQP– küljega ruut a, CDVT– küljega ruut b, CQRT- külgedega ristkülik a Ja b.

Rööpküliku pindala arvutamise valem: Rööpküliku pindala võrdub selle kõrguse ja aluse korrutisega (joonis 5).

Kommentaar: Rööpküliku põhjaks nimetatakse tavaliselt külge, kuhu kõrgus tõmmatakse; On selge, et rööpküliku mis tahes külg võib olla aluseks.

Arvestades:

ABCD– p/g;

B.H.^AD, HÎ AD.

Tõesta: SABCD=AD× B.H..

Tõestus:

1. Viime selle baasi AD kõrgus CF(Joonis 5).

2. B.C.ïê HF, B.H.ïê CF, Þ BCFH- p/g määratluse järgi. Ð H=90°, Þ BCFH- ristkülik.

3. BCFH– p/g, Þ p/g omaduse järgi B.H.=CF, Þ D BAH=D CDF mööda hüpotenuusi ja jalga ( AB=CD vastavalt St. p/g, B.H.=CF).

4. SABCD=SABCF+S D CDF=SABCF+S D BAH=SBCFH=B.H.× B.C.=B.H.× AD. #

3. Kolmnurga pindala.

Kolmnurga pindala arvutamise valem: Kolmnurga pindala on võrdne poolega selle kõrguse ja aluse korrutisest (joonis 6).

Kommentaar: Sel juhul on kolmnurga aluseks see külg, kuhu kõrgus tõmmatakse. Selle aluseks võib olla ükskõik milline kolmnurga kolmest küljest.

Arvestades:

BD^A.C., DÎ A.C..

Tõesta: .

Tõestus:

1. Täiendame D ABC kuni p/y ABKC läbides tipu B sirge B.K.ïê A.C., ja läbi ülaosa C- sirge CKïê AB(Joonis 6).

2. D ABC=D KCB kolmest küljest ( B.C.-üldine, AB=KC Ja A.C.=K.B. vastavalt St. p/g), Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image014_34.gif" width="107" height="36">).

Järeldus 2: Kui arvestada p/u D ABC kõrgusega A.H., tõmmatud hüpotenuusile B.C., See. Seega in p/u Hüpotenuusile tõmmatud D-ke kõrgus võrdub selle jalgade ja hüpotenuusi korrutise suhtega . Seda seost kasutatakse probleemide lahendamisel üsna sageli.

4. Järeldused kolmnurga pindala leidmise valemist: võrdse kõrguse või alusega kolmnurkade pindalade suhe; võrdsed kolmnurgad joonistel; kumera nelinurga diagonaalidest moodustatud kolmnurkade pindalade omadus.

Kolmnurga pindala arvutamise valemist järgneb elementaarselt kaks tagajärge:

1. Võrdsete kõrgustega kolmnurkade pindalade suhe võrdne nende aluste suhtega (joonis 8 ).

2. Võrdsete alustega kolmnurkade pindalade suhe võrdne nende kõrguste suhtega (joonis 9 ).

Kommentaar: Ülesannete lahendamisel kohtab väga sageli ühise kõrgusega kolmnurki. Sel juhul asuvad nende alused reeglina samal sirgel ja aluste vastas olev tipp on ühine (näiteks joonisel 10 S 1:S 2:S 3=a:b:c). Peaksite õppima nägema selliste kolmnurkade kogukõrgust.

Samuti annab kolmnurga pindala arvutamise valem kasulikke fakte, mis võimaldavad teil leida võrdsed kolmnurgad arvudes:

1. Suvalise kolmnurga mediaan jagab selle kaheks võrdseks kolmnurgaks (joonisel 11 kohas D A.B.M. ja D ACM kõrgus A.H.– üldine ja põhjendused B.M. Ja C.M. mediaani määratluse järgi võrdne; sellest järeldub, et D A.B.M. ja D ACM võrdse suurusega).

2. Rööpküliku diagonaalid jagavad selle neljaks võrdseks kolmnurgaks (joonisel 12 A.O.– kolmnurga mediaan ABD diagonaalide p/g omaduse järgi, Þ kolmnurkade eelnevate omaduste tõttu ABO Ja ADO võrdse suurusega; sest B.O.– kolmnurga mediaan ABC, kolmnurgad ABO Ja BCO võrdse suurusega; sest CO– kolmnurga mediaan BCD, kolmnurgad BCO Ja DCO võrdse suurusega; Seega S D ADO=S D ABO=S D BCO=S D DCO).

3. Trapetsi diagonaalid jagavad selle neljaks kolmnurgaks; kaks neist, külgnevad külgmiste külgedega, on võrdse suurusega (Joonis 13).

Arvestades:

ABCD- trapetsikujuline;

B.C.ïê AD; A.C.Ç BD=O.

Tõesta: S D ABO=S D DCO.

Tõestus:

1. Joonistame kõrgused B.F. Ja CH(Joonis 13). Siis D ABD ja D ACD alus AD– üldine ja kõrgused B.F. Ja CH võrdne; Þ S D ABD=S D ACD.

2. S D ABO=S D ABD ‑ S D AOD=S D ACD ‑ S D AOD=S D DCO. #

Kui joonistada kumera nelinurga diagonaalid (joonis 14), moodustub neli kolmnurka, mille pindalad on omavahel seotud väga kergesti meeldejääva suhtega. Selle seose tuletamine tugineb ainult kolmnurga pindala arvutamise valemile; kirjanduses leidub seda aga üsna harva. Olles kasulik probleemide lahendamisel, väärib alljärgnevalt sõnastatud ja tõestatav seos suurt tähelepanu:

Kumera nelinurga diagonaalide poolt moodustatud kolmnurkade pindalade omadus: Kui kumera nelinurga diagonaalid ABCD ristuvad punktis O, siis (joonis 14).

ABCD– kumer nelinurk;

https://pandia.ru/text/78/214/images/image025_28.gif" width="149" height="20">.

Tõestus:

1. B.F.– üldpikkus D AOB ja D BOC; Þ S D AOB:S D BOC=A.O.:CO.

2. D.H.– üldpikkus D AOD ja D C.O.D.; Þ S D AOD:S D C.O.D.=A.O.:CO.

5. Võrdsete nurkadega kolmnurkade pindalade suhe.

Teoreem võrdsete nurkadega kolmnurkade pindalade suhte kohta: Võrdsete nurkadega kolmnurkade pindalad on seotud neid nurki ümbritsevate külgede korrutistega (joonis 15).

Antud:

D ABC, D A 1B 1C 1;

Ð BAC=Ð B 1A 1C 1.

Tõesta:

Tõestus:

1. Asetage see kiirele AB joonelõik AB 2=A 1B 1 ja tala peal A.C.- joonelõik A.C. 2=A 1C 1 (joonis 15). Siis D AB 2C 2=D A 1B 1C 1 kahel küljel ja nendevaheline nurk ( AB 2=A 1B 1 ja A.C. 2=A 1C 1 ehituse järgi ja Р B 2A.C. 2=р B 1A 1C 1 tingimuse järgi). Tähendab,.

2. Ühendage punktid C Ja B 2.

3. CH– üldpikkus D AB 2C ja D ABC, Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image033_22.gif" width="81" height="43 src=">.

6. Kolmnurga poolitaja omadus.

Kasutades teoreeme võrdsete nurkadega kolmnurkade pindalade suhte ja võrdse kõrgusega kolmnurkade pindalade suhte kohta, tõestame lihtsalt tõsiasja, mis on ülesannete lahendamisel äärmiselt kasulik ja ei ole otseselt seotud jooniste pindaladega. :

Kolmnurga poolitaja omadus: Kolmnurga poolitaja jagab selle külje, mille külge see on tõmmatud, segmentideks, mis on võrdelised nendega külgnevate külgedega.

Arvestades:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image036_22.gif" width="61" height="37">.

Tõestus:

1..gif" width="72 height=40" height="40">.

3. Punktidest 1 ja 2 saame: , Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image041_19.gif" width="61" height="37">. #

Kommentaar: Kuna äärmuslikke või keskmisi liikmeid saab õiges vahekorras vahetada, on mugavam kolmnurga poolitaja omadust meeles pidada järgmisel kujul (joonis 16): .

7. Trapetsi pindala.

Trapetsi pindala arvutamise valem: Trapetsi pindala on võrdne selle kõrguse ja poole aluste summa korrutisega.

Arvestades:

ABCD- trapetsikujuline;

B.C.ïê AD;

B.H.- kõrgus.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image044_21.gif" width="127" height="36">.

Tõestus:

1. Joonistame diagonaali BD ja kõrgus DF(Joonis 17). BHDF– ristkülik, Þ B.H. = DF.

Tagajärg: Võrdsete kõrgustega trapetside pindalade suhe on võrdne nende keskjoonte suhtega (või aluste summade suhtega).

8. Nelinurga pindala vastastikku risti olevate diagonaalidega.

Valem vastastikku risti asetsevate diagonaalidega nelinurga pindala arvutamiseks: Vastastikku risti asetsevate diagonaalidega nelinurga pindala on võrdne poolega selle diagonaalide korrutisest.

ABCD- nelinurk;

A.C.^BD.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image049_20.gif" width="104" height="36">.

Tõestus:

1. Tähistame A.C.Ç BD=O. Kuna A.C.^BD, A.O.- kõrgus D ABD, A CO- kõrgus D CBD(Joonised 18a ja 18b vastavalt kumerate ja mittekumerate nelinurkade puhul).

2.
(märgid “+” või “-” vastavad vastavalt kumerate ja mittekumerate nelinurkade juhtudele). #

Pythagorase teoreemil on äärmiselt oluline roll väga erinevate probleemide lahendamisel; see võimaldab teil leida täisnurkse kolmnurga tundmatu külje selle kahe teadaoleva külje põhjal. Pythagorase teoreemile on teada palju tõestusi. Tutvustame neist lihtsamaid, mis põhinevad ruudu ja kolmnurga pindalade arvutamise valemitel:

Pythagorase teoreem: Täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuusi ruut võrdne jalgade ruutude summaga.

Arvestades:

D ABC– p/u;

Ð A=90°.

Tõesta:

B.C. 2=AB 2+A.C. 2.

Tõestus:

1. Tähistame A.C.=a, AB=b. Paneme selle kiirele AB joonelõik B.P.=a, ja tala peal A.C.- joonelõik CV=b(Joonis 19). Joonistame punkti läbi P otsene PRïê AV, ja läbi punkti V- sirge VRïê AP. Siis APRV- p/g määratluse järgi. Pealegi, kuna Р A=90°, APRV- ristkülik. Ja sellepärast AV=a+b=AP, APRV– küljega ruut a+b, Ja SAPRV=(a+b)2. Järgmisena jagame külje PR punkt K segmentideks PQ=b Ja QR=a, ja külg RV- punkt T segmentideks RT=b Ja TV=a.

2. D ABC=D PQB=D RTQ=D VCT kahel küljel Þ Ð ACB=Ð PBQ=Ð RQT=Ð VTC, B.C.=QB=T.Q.=C.T. ja https://pandia.ru/text/78/214/images/image055_17.gif" width="115" height="36">.

3. Sest B.C.=QB=T.Q.=C.T., CBQT- romb Samal ajal QBC=180°-(р ABC+Ð PBQ)=180°-(Р ABC+Ð ACB)=Ð BAC=90°; Þ CBQT- ruut ja SCBQT=B.C. 2.

4. . Niisiis, B.C. 2=AB 2+A.C. 2. #

Pythagorase pöördteoreem on täisnurkse kolmnurga märk, st võimaldab kolme teadaoleva külje abil kontrollida, kas kolmnurk on täisnurkne.

Pythagorase vastupidine teoreem: Kui kolmnurga külje ruut on võrdne selle kahe teise külje ruutude summaga, siis on kolmnurk täisnurkne ja selle pikim külg on hüpotenuus.

Arvestades:

B.C. 2=AB 2+A.C. 2.

Tõesta: D ABC– p/u;

Ð A=90°.

Tõestus:

1. Konstrueerige täisnurk A 1 ja asetage segmendid külgedele A 1B 1=AB Ja A 1C 1=A.C.(Joonis 20). Saadud p/u D-s A 1B 1C 1 Pythagorase teoreemi järgi B 1C 12=A 1B 12+A 1C 12=AB 2+A.C. 2; aga vastavalt seisukorrale AB 2+A.C. 2=B.C. 2; Þ B 1C 12=B.C. 2, Þ B 1C 1=B.C..

2. D ABC=D A 1B 1C 1 kolmest küljest ( A 1B 1=AB Ja A 1C 1=A.C. ehituse järgi, B 1C 1=B.C. punktist 1), Þ Ð A=Ð A 1 = 90°, Þ D ABC- p/u. #

Nimetatakse täisnurkseid kolmnurki, mille külgede pikkus on väljendatud naturaalarvudes Pythagorase kolmnurgad , ja vastavate naturaalarvude kolmikud on Pythagorase kolmikud . Pythagorase kolmikuid on kasulik meeles pidada (suurem neist arvudest võrdub kahe ülejäänud ruutude summaga). Siin on mõned Pythagorase kolmikud:

3, 4, 5;

5, 12, 13;

8, 15, 17;

7, 24, 25;

20, 21, 29;

12, 35, 37;

9, 40, 41.

Egiptuses kasutati täisnurkade konstrueerimiseks täisnurkset kolmnurka külgedega 3, 4, 5 ja seetõttu kolmnurk helistas egiptlane .

10. Heroni valem.

Heroni valem võimaldab leida suvalise kolmnurga pindala selle kolmest teadaolevast küljest ja on paljude probleemide lahendamisel asendamatu.

Heroni valem: Kolmnurga pindala külgedega a, b Ja c arvutatakse järgmise valemi abil: , kus on kolmnurga poolperimeeter.